Y sumando, Δpy=0,  tal como debe ser.

Miremos ahora las cosas desde el punto de vista de un observador que se desplaza en un sistema inercial S', con una velocidad u que, por comodidad de cálculo, tomamos igual a la componente v_x de las partículas.

Respecto a las variaciones de p en el eje X', poco hay que decir. Los Δv_x eran nulos en S, y lo seguirán siendo en S', según la ecuación primera de [22]:

y si los Δv'x son nulos, también lo son las variaciones de la cantidad de movimiento...

Hasta aquí todo parece ir bien, pero al analizar las variaciones de p_y, las cosas se tuercen "un poco"...

Usamos la ecuación segunda de [22], y ponemos v_x negativo para la partícula 1 y positivo para la partícula 2, de acuerdo con sus valores.

Las variaciones de la cantidad de movimiento para la componente y no son ni mucho menos iguales (véanse los denominadores), y al no anularse, obligan a reconsiderar nuestras ideas sobre la conservación de p.

El dilema es decidir si aceptamos que el principio de conservación de la cantidad de movimiento es incompatible con la transformación de Lorentz, o bien si queremos cambiar la definición de p de forma que sí lo sea.

De acuerdo con la coherencia de la teoría de la relatividad, no hay duda de que debemos optar por la segunda posibilidad, y redefinir p de forma que la ley de conservación sea invariante bajo una transformación de Lorentz. Si se consigue esta definición, la ley de conservación de p será válida en todos los sistemas inerciales, que es lo que deseamos para todas las leyes de la física.

Para cambiar la definición de p, pensemos de dónde vienen nuestras dificultades con lo observado anteriormente.

Parece claro que la cuestión radica en la medida de la velocidad en esa dirección ; pero el problema no está en el numerador, ya que sabemos que todos los observadores medirán lo mismo, sea cual sea el sistema inercial en que se encuentren, de acuerdo con las ecuaciones [16]. Por tanto, la dificultad radica en que cada observador mide un tiempo diferente Δt desde su sistema. Pero vimos que existe una medida de tiempo, el tiempo propio Δτ , realizada por un reloj que acompaña al suceso observado, que vale lo mismo para cualquier sistema de referencia cuando se observa desde él mismo y no desde otro. Así que el cociente valdrá siempre lo mismo, se mire en el sistema de referencia que se mire. Y recordando la ecuación [20] pondremos     [24]

afirma que la masa de una partícula depende de la velocidad que lleva. En reposo vale M, y aumenta a medida que aumenta su velocidad. En el caso límite de v tendiendo a c, la masa tiende a infinito, otra prueba más del valor límite de c. (Ver Nota 9)

Las figuras siguientes nos pueden ayudar a visualizar las diferencias entre los conceptos clásicos y relativistas de la cantidad de movimiento y de la masa.
 

El aumento de la masa en movimiento ha sido comprobado experimentalmente en repetidas ocasiones y fenómenos, constituye una pieza clave en el funcionamiento de los aceleradores rápidos de partículas, y es una de las predicciones de la teoría de la relatividad que más ha contribuido a la confirmación de su validez.