8.-Cinemática y dinámica relativista.
8.2.-Dilatación del tiempo. Tiempo propio.

Según las ecuaciones de transformación de Lorentz, los intervalos temporales se verán afectados por el movimiento relativo, de una forma similar a como se han visto afectados los intervalos espaciales (longitudes) por la contracción de Lorentz-FitzGerald.

No es complicado deducir qué sucede a partir de las ecuaciones [17] cuando se estudian dos acontecimientos que suceden en la posición x' del sistema en movimiento:

Δt = t₂-t₁ = γ(t₂'+βx'/c) - γ(t₁'+βx'/c) = γ(t₂'-t₁')

o sea,

Δt = γΔt'

[19]

Sin embargo, la interpretación de este resultado ha de hacerse con sumo cuidado. De entrada, se puede decir que un reloj situado en el sistema estacionario mide unos intervalos de tiempo más grandes entre dos acontecimientos que ocurren en un sistema inercial en movimiento que los que mide un reloj situado en el propio sistema en movimiento.

Por ejemplo, supongamos que una nave espacial muy rápida, girando alrededor de la Tierra, alcanza un valor de la velocidad que origina un valor de γ =1.2. Por cada hora de tiempo de la nave (reloj en el sistema móvil), desde la Tierra (reloj en el sistema estacionario) se medirán 1.2 x 1=1.2 horas. Desde la Tierra aparece un efecto de dilatación del tiempo, y se dice que los relojes de la nave van más despacio, retrasándose respecto a los de la Tierra.

Podemos verlo con unos esquemas, pensando que estamos situados en la Tierra. Inicialmente, sincronizamos el reloj de la nave y el terrestre R'₁ y R₁, de manera que t = t' = 0.

A lo largo de la superficie terrestre tenemos una red de observatorios con una serie de relojes R₁, R₂, R₃,... que podemos suponer que están sincronizados entre sí permanentemente.

La nave empieza a moverse con una velocidad u, y cuando pasa por encima del primer observatorio se hacen las medidas de los relojes R'₁ y R₂. Si el reloj de tierra marca t, ¿que marca el de la nave?. De acuerdo con la ecuación del tiempo de la transformación directa de Lorentz [16], y teniendo en cuenta que x = L= ut, pondremos:

t '= γ(t-βx/c) = γ(t-βut/c) = γt(1-β²)=t/γ

que es el mismo resultado obtenido en la ecuación [19] vista más arriba, con t'<t.

Debido a que en la ecuación [19] el signo de u no tiene ninguna trascendencia, el efecto descrito será simétrico: desde la nave, al observar el intervalo entre dos acontecimientos en la Tierra, haremos una medida más larga que la que se haría en la propia Tierra. Visto desde la nave, son los relojes terrestres los que van más lentos, retrasándose. Debido a esta simetría, parece conveniente definir lo que se llama el tiempo propio τ , que no es más que la medida de un intervalo de tiempo en el sistema respecto al cual el reloj está fijo (es lo que estábamos llamando hasta ahora Δt').

Por lo tanto, la medida Δt de este intervalo de tiempo propio visto desde cualquier otro sistema inercial será, de acuerdo con la ecuación [19],
 

Δt = γ τ

[20]

Así, el tiempo propio, medido en el sistema respecto al cual un reloj está quieto, es el más corto de todos, alargándose la medida si se hace desde otro sistema inercial en movimiento. (Obsérvese que es exactamente lo contrario de lo que sucedía con la longitud, máxima en el reposo)

No debe verse nada extraño en esta dilatación del tiempo, que evidentemente no es culpa de los relojes, sino de la invarianza de c. Puede costar entender cómo suceden las cosas, pero desde luego está claro que nuestras ideas intuitivas sobre el tiempo también deben ser revisadas. Un reloj quieto en S indicará el tiempo propio si se le observa por una persona en reposo también en S; el mismo reloj en reposo en S' medirá el mismo tiempo propio cuando lo observe una persona en reposo en S'; pero cuando observemos desde un sistema un intervalo de tiempo en el otro sistema, la medida será mayor que el tiempo propio, esencialmente debido a que la luz tarda un cierto tiempo en llegarnos con la información temporal. (Ver Nota 3)

Evidentemente, cuando se consideraba en la física clásica que la velocidad de la luz tenía un valor infinito, este efecto de dilatación temporal no podía considerarse teóricamente...

Desde un punto de vista práctico, tenemos muchos ejemplos que demuestran experimentalmente la dilatación del tiempo, a veces junto con la contracción de la longitud. Uno de los más clásicos es el de la desintegración de los mesones μ .

Estas partículas se producen en lo alto de la atmósfera debido a la acción de otras partículas cósmicas muy rápidas, y son fácilmente detectables a nivel del mar en cantidades significativas. Los mesones μ son partículas inestables, que se desintegran en 2 x 10^-6 s por término medio desde su creación, y que tienen una velocidad media de 2.994 x 10⁸ m/s, que supone casi la velocidad de la luz.

En principio, con esa velocidad y con ese tiempo de vida podrían, como mucho, bajar desde una altura h = ut = 2.994 x 10⁸ x 2 x 10^-6= 600 m aproximadamente. Sin embargo, sabemos que se producen a una altura muy superior. ¿Cómo puede explicarse esta contradicción?

Observemos el acontecimiento desde el sistema de referencia del mesón, en el que la vida de éste es de 2 x 10^-6 s (tiempo propio) y la máxima distancia que puede recorrer es de 600 m. El mesón ve afectada la distancia a recorrer debido a la contracción de Lorentz-FitzGerald, y de acuerdo con la ecuación [18] pondremos:

h=γ h'=

que es lo que nosotros observamos desde la Tierra.

Sea ahora un observador en la Tierra el que describe el fenómeno. Observa que el mesón se forma a unos 9500 m de altura, pero al medir su tiempo de vida lo ve dilatado, puesto que, de acuerdo con la ecuación [20], pondremos:

Δt=γ t =

y en ese tiempo el mesón puede recorrer una distancia en el sistema de referencia de la Tierra dada por

h = ut = 2.994 x 10⁸ x 31.6 x 10^-6 = 9461 m, lo cual está totalmente de acuerdo con la experiencia.

Debe hacerse notar que ambas interpretaciones conducen a una interpretación correcta desde el punto de vista experimental, pero que son radicalmente diferentes en cuanto al razonamiento empleado:

El mesón tiene una percepción de su tiempo propio de vida, y si logra llegar a la Tierra sólo puede interpretarlo diciendo que la distancia a recorrer se ha acortado.

El observador terrestre tiene una percepción de la distancia a recorrer, y si ve llegar al mesón al suelo sólo puede interpretarlo diciendo que éste ha alargado su tiempo de vida.