Tema 08: El campo eléctrico	Subtema 05: Condensadores		08_05_003
Origen: Burbano, 27,6	Nivel: 2/3	Esfera capacidad carga potencial
Dos esferas metálicas de 6 y 9 cm de radio se cargan con un microculombio cada una y luego se unen con un hilo conductor de forma que se iguala el potencial de ambas. Calculad el potencial de cada esfera antes de la unión, el potencial común después de la unión y la carga de cada esfera después de la unión. ¿Cuánta carga circuló por el hilo? Haced un balance energético entre ambas situaciones, interpretando los resultados.

S O L U C I Ó N:

(A) Antes de la unión:

C₁=0,06/(9 10⁹)=6,666 10⁻¹² F ; Q₁=10⁻⁶ C ; V₁=Q₁ / C₁=10⁻⁶ 9 10⁹ / 0,06=150000 V

C₂=0,09/(9 10⁹) =10 10⁻¹² F ; Q₂=10⁻⁶ C; V₂=Q₂/C₂=10⁻⁶ 9 10⁹ / 0,09 = 100000 V

(B) Después de la unión:

Q=Q1+Q2=2 10⁻⁶ C ; C=C1+C2=0,15 / 9 10⁹ F ; V=Q/C=2 10⁻6 9 10⁹ / 0,15=120000V

Q'₁=C₁ V = (0,06 120000) / (9 10⁹) = 0,8 µC

Q'₂=C₂ V = (0,09 120000) / (9 10⁹) = 1,2 µC

(C) La carga que ha circulado por el hilo es Q'₂ – Q₂ = 1,2 -1 = 0,2 µC

(D) Haciendo las mismas consideraciones que en 08_05_002 tendremos lo siguiente:

La energía potencial almacenada en un condensador vale E =1/2 CV² ==>

E_i = ½ 6,666 10⁻¹² 150000² + ½ 10 10⁻¹² 100000² = 0,075 + 0,05 = 0,125 J

E_f = ½ 6,666 10⁻¹² 120000² + ½ 10 10⁻¹² 120000² ==>

E_f = 0,048 + 0,072 = 0,120 J

Puede analizarse dónde debe estar la energía perdida en el proceso, que vale:

ΔE_P = (0,120 – 0,125) = - 0,005 J

En el proceso de conexión de las esferas se producen pérdidas de energía debidas a la reconfiguración de la distribución de carga de cada una de ellas, o, dicho de otra manera, al trabajo necesario para mover las cargas por el interior de las esferas hasta conseguir su posición de equilibrio estático. Para calcular esos valores hay que tener en cuenta que la carga/descarga no se realiza a potencial constante:

Para la esfera 1, ΔE = -½ 6,666 10⁻¹² (120000 - 150000)² = - 0,003 J

Para la esfera 2, ΔE = -½ 10 10⁻¹² (120000 - 100000)² = - 0,002 J

(la suma de ambas es – 0,005 J, como era de esperar)

Los valores que hemos ido calculado pueden distribuirse en una tabla para verlos bien:

En J	E inicial	E final	ΔE	Energía disipada	Balance
1ª Esfera	0,075	0,048	-0,027	-0,003	0,075-0,022-0,002-0,003=0,048
2ª Esfera	0,050	0,072	+0,022	-0,002	0,050+0,022+0,002-0,002=0,072
Total	0,125	0,120	-0,005	-0,005

Y si seguimos el proceso esfera a esfera...

-La esfera 1ª tiene inicialmente una energía de 0,075. Cede a la 2ª esfera una energía de 0,022 + 0,002, disipa una energía de 0,003 y le queda 0,048:

0,075-0,022-0,002-0,003=0,048

-La esfera 2ª tiene inicialmente una energía de 0,050 J. Recibe de la 1ª esfera una energía de 0,022 + 0,002, disipa una energía de 0,002 y le queda 0,072:

0,050+0,022+0,002-0,002=0,072

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