Tema 08: El campo eléctrico	Subtema 03: Potencial, trabajo, energía		08_03_004
Origen: Burbano, 26, 7	Nivel:3/3
Calculad el potencial creado por un volumen cilíndrico muy largo de radio R en el que se halla distribuida uniformemente una carga positiva, conociendo la carga por unidad de volumen ρ en un punto (a)exterior al cilindro y (b)interior al mismo. Tómese como origen de potencial la superficie del cilindro.

S O L U C I Ó N:

Los valores del campo necesarios para la resolución los tomaremos del problema 08_02_003, ya que son totalmente válidas las consideraciones que allí se hicieron.

Sabemos que

(A) Para un punto exterior, r>R:

Si se hace el transporte de la unidad de carga a lo largo de una línea de fuerza, que ya se vio que era perpendicular al eje del cilindro, el vector campo y el diferencial de posición son paralelos, el ángulo que forman es cero y su coseno vale la unidad, de manera que simplemente quedará la siguiente integral:

Como r>R, el ln(r/R) es positivo, así que el potencial resultante es negativo.

(B) Para un punto interior, r<R:

Como r<R, (r²-R²) será negativo, así que el potencial resultante es positivo.

Justo en la superficie, la primera expresión es nula, ya que ln(R/R) = 0, y la segunda también (R²-R²) = 0, confirmando así la elección del origen de potencial en la superficie del cilindro cargado.

Para ver mejor esos potenciales, dibujamos las gráficas correspondientes, dando unos valores arbitrarios a las constantes que en ellos aparecen (por ejemplo, R=1...), simplemente para ver la forma de la función.

El resultado es el de la figura adjunta:

El tramo en negro corresponde al potencial en el interior, positivo, variando la distancia entre r=0 y r=R=1 m, y el potencial entre 0,25 V en el eje y 0 V en la superficie del cilindro. Ese valor no nulo en r=0 viene impuesto por la elección del origen. La forma de la gráfica corresponde a un arco de parábola.

El tramo en rojo corresponde al potencial en el exterior, negativo, variando la distancia entre r=R=1 m e infinito, y el potencial desde 0 V en la superficie del cilindro e infinito en el infinito. La forma de la gráfica corresponde a un arco de logaritmo neperiano.

Obsérvese que en r=R=1 m hay continuidad en la gráfica (el límite por la izquierda y por la derecha vale cero) pero las tangentes en ese punto se ven claramente diferentes, luego la función no es derivable en la superficie del cilindro. La derivada por la izquierda y por la derecha no serán iguales, y se producirá entonces una discontinuidad en el campo eléctrico, como vimos en el problema 08_02_003.

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