Tema 07: El campo gravitatorio	Subtema 03: Interacciones en el Sistema Solar		07_03_005
Origen: Resnick, 16, 25	Nivel: 3/3	CDG Cantidad de movimiento angular energía cinética gravitación
Una pareja de estrellas gira en torno a su centro de gravedad común. La masa de una de ellas es el doble que la de la otra, y sus centros están a una distancia d, que es muy grande en comparación con el tamaño de las estrellas. Deducid una expresión para el período de rotación de las estrellas en torno a su centro de gravedad común en función de la distancia, de las masas y de la constante G. Calculad la relación de las cantidades de movimiento angular de ambas estrellas respecto a su CDG común, esto es, calculad el cociente Lm / L2m. Calculad también la relación entre las energías cinéticas de ambas masas.

S O L U C I Ó N:

(A) En la línea que une sus centros estará el CDG común, y si tomamos como referencia la masa pequeña m estará situado en

Cada estrella gira alrededor de ese CDG con radios de giro, velocidades, etc, diferentes, pero como se han de mantener ligadas a una distancia d, los períodos de rotación deberán coincidir.

La fuerza entre ellas determinará su rotación, valiendo

Esta fuerza provocará una aceleración centrípeta, responsable del MCU que hace cada estrella, de manera que:

y de aquí obtendremos el período:

Si se desea comprobar que la otra estrella tiene el mismo período de rotación, basta con repetir el proceso mirándolo desde el punto de vista de la segunda estrella, siendo la fuerza actuante al misma, por la tercera Ley de Newton:

(B)

La cantidad de movimiento angular vale L = I w, siendo w = v / r y el momento de inercia I= MR².

Para la masa grande 2m tendremos que:

Y para la pequeña m tendremos que:

Y el cociente vale L_m / L_2m = 2

(C)

Para la energía cinética de la masa grande 2m tendremos que:

Y para la pequeña m tendremos que:

Y el cociente vale E_cm / E_c2m = 2

Un resumen de las magnitudes estudiadas y de algunas otras deducidas directamente puede verse en la siguiente tabla:

	Estrella m	Estrella 2m	Relación m /2m
Masa	m	2m	1/2
Radio de la trayectoria	2d / 3	d / 3	2
Velocidad lineal			2
Velocidad angular			1
Periodo de rotación			1
Cantidad de movimiento lineal			1
Cantidad de movimiento angular			2
Energía cinética			2
Momento de inercia			2
Energía cinética de rotación			2

Se recomienda reflexionar sobré qué magnitudes salen iguales o dobles, y el porqué...

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