Tema 05: Trabajo, energía y campo.	Subtema 04: Rotación del sólido rígido.		05_04_005
Origen: Burbano, 11, 29	Nivel: 3/3	Rotación varilla energía Steiner CDG
Una varilla delgada homogénea de 1 m de longitud puede girar en torno a un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos. La desplazamos de su posición de equilibrio estable y la colocamos vertical de manera que el eje de giro esté en el punto más bajo del sistema. Dejamos que caiga libremente, girando. Calculad: a)la velocidad de su extremo libre al pasar la varilla por la posición de equilibrio estable b)la velocidad de su extremo libre al pasar la varilla por la posición horizontal c)la fórmula general de la velocidad de ese extremo libre, y la aceleración angular, tangencial, normal y total en función de la longitud L, de la gravedad g y del ángulo girado desde su posición inicial.

S O L U C I Ó N:

La varilla gira desde la posición más alta i hasta la posición f

Poniendo el origen de energía potencial en el punto más bajo, se tendrá que el CDG inicialmente está a una altura L + L/2 = 3L/2, y cuando esté en la posición f estará a una altura de valor h = L – x, en donde x = L/2 cos(180-φ) = - L/2 cos φ, con lo que h = L + L/2 cos φ

La energía inicial vale E_i = mgh_G = mg3L/2

La energía final vale E_f = mgh_G + ½ Iw²

El momento de inercia respecto al extremo lo calcularemos a partir del Teorema de Steiner:

I = I_G + md² = 1/12 mL² + mL²/4 = 1/3 m L²

 

Velocidad:

Igualando las energías inicial y final pondremos que:

mg3L/2 = mg(L+ L/2 cos φ) + ½ 1/3 m L² v²/L²

Y simplificando y despejando la velocidad tenemos que v = (3gl(1-cos φ))^½

Si φ = 90º, v = (3gL)^½ = 5,4 m/s

Si φ = 180º, v = (6gL)½ = 7,7 m/s

Aceleración normal:

a_N = v²/R = (3gL -3gLcos φ)/L = 3g(1-cos φ)

Si φ = 90º, a_N = 3g(1-0) = 3g m/s²

Si φ = 180º, a_N = 3g(1+1) = 6g m/s²

Aceleración tangencial:

a_tg = d|v|/dt = d|v|/d φ x d φ/dt = d|v|/d φ x w = 3gLsen φ / 2v x v/L = 3gsen φ / 2

Si φ = 90º, a_tg = 3gsen90 / 2 = 3g/2 m/s²

Si φ = 180º, a_tg = 3gsen180 /2 = 0 m/s²

Aceleración total:

a_T = (a_tg² + a_N²)^½ = ….....................= 3g/2 (5 - 8cos φ + 3cos² φ)^½

En φ = 90º, a_N = 29,4 ; a_tg = 14,7 ; a_T = 32,87 ==> OK

En φ = 180º, a_N = 58,8 ; a_tg = 0 ; a_T = 58,8 ==> OK

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