S O L U C I Ó N: (20 km/h= 5,56 m/s) (A) La fuerza que proporciona la aceleración normal necesaria para realizar el MCU en la curva es la de rozamiento. De acuerdo con la segunda ley de Newton, Fr = man = mv2/R , así que, como mucho, v2 = Fr*R/m ; el mayor R posible es el de fuera de la curva, de valor 20+(8/2) = 24 m, y para es valor resulta v2 = 196*24/80 ===> vmax = 7,668 m/s Para hacer esa curva de 24 m de radio a esa velocidad de 7,668 m/s, el ciclista debe inclinarse hacia dentro de la curva de manera que se verifique que:
Ese valor de la tg θ es, de acuerdo con lo visto en el problema citado, igual al coeficiente de rozamiento y, efectivamente, μ = Fr/N = 196/(80*9,8) = 0,25. (B)
Eje vertical: P – N cosθ = 0 Eje horizontal: N senθ = man = mv2/R
Despejando
N en la primera ecuación y sustituyéndola en la segunda
se obtiene que
(C)
Fr + P senθ = Fc cosθ (eje paralelo al plano) N = P cosθ + Fc senθ (eje perpendicular al plano) La fuerza de rozamiento vale Fr = μ N = μ (P cosθ + Fc senθ) La fuerza centrífuga vale Fc = mv2/R De la primera ecuación: μ (mg cosθ + mv2/R senθ) + mg senθ = mv2/R cosθ Eliminando m y multiplicando por R: R μ g cosθ + μ v2 senθ + R g senθ = v2 cosθ Aislando v2: R μ g cosθ + R g senθ = v2 cosθ - μ v2 senθ = v2 (cosθ - μ senθ) Y en definitiva v2 = Rg( μ cosθ + senθ) / (cosθ - μ senθ) ===> v2= R*9,8(0,25*cos9º + sen9º) / (cos9º – 0,25 sen9º) = R*4,167 ===> v = 2,04*R½ En el borde interior: vmax = 2,04*(20-4)½ = 8,16 m/s = 29,38 km/h En el centro: vmax = 2,04*(20)½ = 9,12 m/s = 32,84 km/h En el borde exterior: vmax = 2,04*(20+4)½ = 9,99 m/s = 35,99 km/h A menos de 29,38 km/h puede tomar el viraje por donde quiera. A más velocidad se ha de ir colocando más hacia fuera, no pudiendo en ningún caso sobrepasar la velocidad de 35,99 km/h, tomándola justo en el borde exterior de ese viraje peraltado. Puede estudiarse fácilmente la influencia del rozamiento poniendo μ=0 en la fórmula de v2: v2 = Rg(senθ) / (cosθ) = Rg tgθ, que ya vimos en el apartado (B). De acuerdo con ella, vmax = (Rg tgθ) ½, y en los tres puntos estudiados de la curva vale En el borde interior: vmax = (16*9,8*tg9º) ½ = 4,98 m/s = 17,94 km/h En el centro: vmax = (20*9,8*tg9º) ½ = 5,57 m/s = 20 km/h (como ya sabíamos) En el borde exterior: vmax = (24*9,8*tg9º) ½ = 6,10 m/s = 21,97 km/h Pueden compararse mejor los resultados obtenidos si se disponen en forma de tabla:
Obsérvese que la última fórmula de la velocidad engloba a las dos anteriores, simples casos particulares de ella. * * * * * * * * * * JCVP_02_03_012 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(ver
problema 02_003_009)
El
peralte de la curva tiene como objetivo sustituir a la fuerza de
rozamiento como generador de la aceleración normal. Dado que
no hay fuerza de rozamiento, el ciclista debe ponerse perpendicular a
la carretera, de manera que la reacción N de la misma se
dirija según el eje de la bicicleta. En esas condiciones,
puede escribirse la segunda ley de Newton para cada uno de los ejes:
Para
tener en cuenta el efecto del peralte y del rozamiento
simultáneamente plantearemos la situación de acuerdo
con D'Alembert, suponiendo la existencia de una fuerza ficticia de
inercia, la “fuerza centrífuga”, y usaremos unos ejes
ligados al plano del peralte; el peso se descompone en sus dos
componentes, así como la Fc, y se observa que N v
correspondientes componentes de P y
Fc.
La Fr,
junto con la componente del P paralela al plano, ha iene dada por la
suma de las de contrarrestar la correspondiente componente de Fc.
Podrá escribirse por tanto que: