Tema 02: Dinámica del punto	Subtema 03: Rozamiento. Peraltes.		02_03_009
Origen: Resnick, I, 6, 27	Nivel: 2/3	Rozamiento, MCU, fuerzas de inercia
(a)¿Cuál es el mínimo radio de un círculo en el cual puede ir un ciclista si su velocidad es de 29 km/h y el coeficiente de rozamiento estático entre las ruedas y el suelo es de 0,32? (b)Bajo esas condiciones, ¿cuál es la inclinación que debe adoptar el ciclista para realizar la curva?

S O L U C I Ó N:

(A)

29 km/h = 29000 / 3600 = 8,056 m/s

La fuerza centrípeta necesaria para realizar el MCU a esa velocidad la proporciona el rozamiento F_r = ma_n. Por tanto, dado que la máxima fuerza de rozamiento es F_r = μN = μ mg y que la aceleración normal vale a_n = v²/R, tendremos que μ mg = m v²/R , de donde despejamos el valor del mínimo radio para las condiciones pedidas:

Si el radio es mayor que ese valor, el cociente mv²/R disminuye, y la F_r puede proporcionar la aceleración necesaria para el giro. Al revés, si el radio baja de ese valor mínimo, el cociente m v²/R aumenta, y la F_r ya no puede proporcinar la aceleración normal suficiente, por lo que el ciclista no puede cerrar el círculo.

(B)

Las condiciones a tener en cuenta son la velocidad v del ciclista y el radio R de la curva.

De acuerdo con la segunda Ley de Newton, y teniendo en cuanta las fuerzas que actúan sobre el ciclista (peso P, reacción del suelo N y rozamiento F_r), podemos escribir que:

Eje vertical: N – P = 0 ===> N = mg

Eje horizontal: F_r = ma_n ===> F_r = mv²/R

La resultante de N y F_r debe estar sobre el eje de la bicicleta, por lo que se podrá escribir que De acuerdo con los valores dados,Evidentemente, no es una casualidad que hayamos obtenido para la tangente del ángulo un valor que coincide con el coeficiente de rozamiento. Teniendo en cuenta el valor para el radio mínimo obtenido en (A) podemos poner que, para una cierta velocidad y para el radio más pequeño soportado por el rozamiento,

Puede hacerse otra descripción de la situación, adoptando como sistema de referencia el que se mueve con el ciclista (sistema no inercial) De acuerdo con D'Alembert, para justificar el aparente equilibrio (el ciclista se ve “en reposo” en su sistema) basta con postular la existencia de una fuerza fictícia, de sentido contrario a la aceleración normal y de valor ma_n, llamada comúnmente “fuerza de inercia” y que en este caso sería un “fuerza centrífuga”. El diagrama de fuerzas (tres reales y una fictícia) sería el de la figura, y las ecuaciones a utilizar serían

Eje vertical: N – P = 0

Eje horizontal: F_r – F_i = 0

que evidentemente conducen al mismo resultado que antes.

En este caso de “equilibrio dinámico” o de D'Alembert aún cabe otra interpretación, usando el concepto de momento: el momento del par de fuerzas P/N contrarrestra al momento del par de fuerzas F_r/F_i. En efecto, si se toman momentos sobre el punto de contacto de la bicicleta con el suelo, N y F_r no producen momento, y las otras dos lo hacen en sentidos contrarios, de manera que P*X = F_i*Y , siendo X e Y las proyecciones de la bicicleta sobre ambos ejes. Así pues,

, como se obtuvo anteriormente.

(Ver hoja de cálculo asociada)

* * * * * * * * * *