S O L U C I Ó N: 20 km/h = 20000/3600 = 5,56 m/s (A) En ausencia de rozamiento, nos encontramos con un MRUA. v = v0 + at ===> 0 = 5,56 – 9,8 t ===> t = 0,57 s y= y0 + v0 t + ½ a t2 ===> y = 5,56*0,57 - ½ * 9,8 * 0,572 = 1,57 m La velocidad de vuelta al suelo es la misma que la de salida, como se ha visto en otros problemas. Cuando se lanza, Ec = ½ m v2 = ½ * 2 * 5,562 = 30,91 J En el punto más alto, Ep = mgh = 2*9,8*1,57 = 30,77 J Ambas son iguales, dado que no existen pérdidas por rozamiento. Cuando existe una fuerza de rozamiento, y además esta es variable con la velocidad, las cosas cambian radicalmente, ya que la aceleración es variable con la velocidad. Dividiremos el problema en dos partes, primero cuando sube y luego cuando baja.
(B1)El cuerpo está subiendo: Se usa el suelo como origen de coordenadas, y se define el sentido positivo el de subida. Se tendrán dos aceleraciones, la de la gravedad g y la del rozamiento ar = F/m =3v/2 =1,5v. Cuando sube, ambas aceleraciones tienen el mismo sentido, hacia abajo, y por tanto las consideramos negativas. La aceleración total será a = g + ar = - 9,8 – 1,5v de acuerdo con el criterio de signos adoptado. (Obsérvese que la aceleración inicial será a = -9,8-1,5*5,56 = -18,14 m/s2 , la mayor de todas, y cuando el cuerpo deje de subir valdrá a = -9,8 m/s2, estrictamente la de la gravedad) De acuerdo con la definición de aceleración pondremos que:
Integrando
esta igualdad tendremos que
(Obsérvese que si t=0, v = 12,09 - 6,53 = 5,56 como debe ser por las condiciones iniciales del problema) Esa
expresión de la velocidad es válida mientras el cuerpo
sube, es decir, hasta que valga cero en el punto más alto. En
ese momento,
(Obsérvese
que si derivamos esa ecuación de la velocidad obtenemos la
expresión de la aceleración como
Falta
calcular la altura que sube en esos 0,41 s. Para ello integraremos la
ecuación de la velocidad:
(Obsérvese que en t=0, y=0 como debe ser de acuerdo con las condiciones iniciales del problema) El valor de y en t=0.41 s resulta ser de 1,025 m, altura máxima alcanzada, menor evidentemente que en el caso de no haber rozamiento.
(B2)El cuerpo está bajando: Se usa el punto de altura 1,025 m como origen de coordenadas, y se define el sentido positivo el de bajada. Se tendrán dos aceleraciones, la de la gravedad g y la del rozamiento ar = F/m =3v/2 =1,5v. Cuando baja, ambas aceleraciones se oponen y por tanto la aceleración total será a = g + ar = 9,8 – 1,5v de acuerdo con el criterio de signos adoptado. (Obsérvese que la aceleración inicial será a=9,8, como debe ser) De acuerdo con la definición de aceleración pondremos que:
Integrando
esta igualdad tendremos que
(Obsérvese que si t=0, v=0 como debe ser; si t tiende a infinito, la velocidad tiende a 6,53, valor que coincide con el que resulta de igualar el peso mg con el rozamiento 3v, v=2*9,8/3 = 6,53, la velocidad límite de caída) (Obsérvese
también que si derivamos esa ecuación de la velocidad
obtenemos la expresión de la aceleración como
Falta calcular el tiempo que tardará en descender los 1,025 m que tiene hasta el suelo. Para ello empezaremos por calcular la ecuación de la posición, integrando la ecuación de la velocidad:
(Obsérvese que en t=0, y=0 como debe ser de acuerdo con las nuevas condiciones iniciales definidas en esta segunda parte del problema; y si se deriva la expresión de la posición obtenemos la de la velocidad, como debe ser) Cuando haya descendido 1,025 m se tendrá que
En
ese momento de llegada al suelo, la velocidad del cuerpo es de
Desde un punto de vista energético tenemos que: Al lanzarlo, Ec = ½ * 2 * 5,562 = 30,91 J Al llegar al punto más alto, Ep = 2 * 9,8 * 1,025 =20,09 J Por tanto, en la subida ha perdido 10,82 J Al volver al suelo, Ec = ½ * 2 * 3,542 = 12,53 J Por tanto, en la bajada ha perdido 7,56 J * * * * * * * * * * JCVP_02_01_015 | ||||||||||||
y
separando variables quedará
y
si la escribimos de la forma
vemos
que se trata de un logaritmo neperiano de tal manera que
que
al aplicar la regla de Barrow nos conduce a una resta de logaritmos
que puede escribirse en forma de cociente:
El
denominador del primer término vale -9,8-1,5*5,56 = -18,14,
con lo cual y despejando la velocidad se obtiene que
y
tomando logaritmos despejamos el tiempo de subida t = 0,41 s 
;
en t=0 obtenemos a=-18,135 , que coincide con a = -9,8 -1,5*5,56 = -
18,14; en t=0,41 obtenemos a= -9,8, como debe ser)
Aplicando
la regla de Barrow llegamos a que la ecuación de la posición
es
y
separando variables quedará
y
si la escribimos de la forma
vemos
que se trata de un logaritmo neperiano de tal manera que
que
al aplicar la regla de Barrow nos conduce a una resta de logaritmos
que puede escribirse en forma de cociente:
y
despejando la velocidad se obtiene que
;
en t=0 obtenemos a=9,8 como debe ser; si t se hace muy grande
obtenemos a=0, como debe ser de acuerdo con el concepto de velocidad
límite de la caída)
Aplicando
la regla de Barrow llegamos a que la ecuación de la posición
es
,
ecuación que puede resolverse por tanteo o con algún
programa como Derive o wxMaxima, dando como resultado t = 0,52
s
que
vale v = 3,54 m/s , valor inferior a aquel con el que
se lanzó dada la pérdida debida al rozamiento.