Tema 02: Dinámica del punto	Subtema 01: Leyes de Newton		02_01_014
Origen: McGraw, ap. 3.12	Nivel: UNI	Masa variable, integral
Una vasija de forma cúbica de 1,5 m de lado se desliza sin rozamiento por una superficie horizontal, a una velocidad constante de 2 km/h, bajo una lluvia serena de 2 litros por hora por metro cuadrado. (a)Calculad el tiempo que tarda en llenarse la vasija (b)Calculad el valor de la fuerza necesaria para mantener esa velocidad constante, teniendo en cuenta que cada vez hay más agua en la vasija (c)Suponiendo que no se hiciese esa fuerza, encontrad la ley que nos daría la variación de velocidad en función del tiempo, representándola e interpretándola.

S O L U C I Ó N:

(A)

El volumen de la vasija es de V = l³ = 1,5³ = 3,375 m³ = 3375 litros

La superficie de la vasija es S = l² = 1,5² = 2,25 m²

El tiempo que tardará en llenarse vendrá dado por el cociente entre el volumen total y el volumen de agua que entra por unidad de tiempo. Este volumen será el producto de la cantidad de agua que cae por la superficie por la que entra, de manera que se tendrá:

(B)

La segunda ley de Newton, en su forma de variación de la cantidad de movimiento, nos permite escribir que ya que v es constante. Por tanto, hay que calcular cuál es la tasa de entrada de agua en función del tiempo. La cantidad de agua que entra por unidad de tiempo será el producto de la densidad del agua por el volumen que entra por unidad de tiempo, ya calculado en (a):

Este valor hay que convertirlo para obtener la unidad habitual de fuerza:

(C)

Si no se hace esa fuerza, la velocidad ya no se mantendrá constante, ya que irá disminuyendo al ir aumentando la masa que hay que mover. En (b) se ha escrito que

y se nos dice ahora que esta fuerza es nula, por lo que se tendrá que verificar que ; agrupando variables tendremos que , expresión que integraremos desde la situación inicial hasta la final:

, resultado nada inesperado...

De esta relación despejamos la v_t obteniendo así la ley de variación de la velocidad con el tiempo:

, expresión en la que pueden ponerse los valores de cada variable.

Cuando t=0 se tiene que v_t=v₀, y cuando t=750 horas la v_t ya no seguirá bajando más. La gráfica aproximada de la función es la siguiente:

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