Tema 01: Cinemática del punto	Subtema 01: Generalidades		01_01_003
Origen: Resnick, I, 3, 31	Nivel: 1/3	Posición, gráficas, derivadas
La posición de una partícula que se mueve en el eje OX depende del tiempo de acuerdo con la ecuación x = at2 – bt3 (x en metros, t en segundos) a) ¿Qué dimensiones y unidades han de tener las constantes a y b? Para las siguientes preguntas, considere que sus valores numéricos sean respectivamente 3 y 1. b) ¿Al cabo de cuánto tiempo alcanza la partícula su máximo valor positivo en el eje OX? c) ¿Qué distancia total recorre la partícula sobre su trayectoria en los primeros 4 s del movimiento? d) ¿Cuál es la rapidez de la partícula al terminar cada uno de los primeros 4 s? e) ¿Cuál es la aceleración de la partícula al terminar cada uno de los primeros 4 s?

S O L U C I Ó N:

(A)

Las dimensiones de [ at²] han de ser las de [x] => [a] = LT^-2 (m/s²)

Las dimensiones de [ bt³] han de ser las de [x] => [b] = LT^-3 (m/s³)

Dada la forma de la ecuación de la posición, es más que probable que haya un retroceso de la partícula, por lo que es conveniente estudiarla con detalle:

x = 3t² – t³ => v = 6t – 3t² => a = 6 – 6t

Corte con los ejes: 3t² – t³ = 0 => t² (t-3) = 0 => t = 0, t = 3

Extremos de la función: 6t – 3t² = 0 => 3t(2-t) = 0 => t = 0, t = 2; sustituyendo en la segunda derivada, se ve que en t = 0 hay un mínimo, y en t = 2 un máximo.

Puntos de inflexión: 6 – 6t = 0 => 6(1 – t) =0 => t = 1 (3ª derivada <>0)

Valores de x en esos momentos:

	Mínimo y corte con el eje	Punto de inflexión	Máximo	Corte con el eje
tiempo	0	1	2	3
posición	0	2	4	0

(Puede verse un dibujo de la gráfica aquí)

(B) De acuerdo con la tabla anterior, el valor positivo más grande se alcanza en el máximo: t = 2 s, x = 4 m

(C) En t = 4 habrá alcanzado la posición x = 3 4² – 4³ = - 16 m ; para llegar a ese punto desde el origen, se habrán recorrido 4 m (hasta el máximo) + 4 m (hasta el origen) + 16 m = 24 m en total

(D) Sustituyendo en la expresión de la velocidad, v(1)=3 m/s, v(2)=0, v(3)=-9 m/s, v(4)=-24 m/s

(E) Sustituyendo en la expresión de la aceleración, a(1)=0, a(2)=-6 m/s², a(3)=-12 m/s², a(4)=-18 m/s²

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