"¡¡Quiero que se construya un ascensor orbital!!"
(Johansolo, habitualmente)

Pues manos a la obra...

1ª Parte: Cálculo de la longitud del cable

Queremos poner en órbita un cable,en principio de sección cilíndrica S, de forma que se autosoporte gracias a la rotación de la Tierra. Se colocará pues anclado en el ecuador y no podrá ser ni demasiado corto (su peso lo haría caer) ni demasiado largo (ya que sería arrancado). Intentamos aquí calcular su longitud correcta.

A una distancia del centro de la Tierra que podemos llamar r (por encima de la superficie terrestre, naturalmente) tomemos un elemento pequeño de dicho cable, de longitud infinitesimal dr. Desde el punto de vista no inercial de D’Alembert, si consideramos la fuerza ficticia de inercia (centrífuga) dicho elemento de cable se encuentra en equilibrio dinámico.

Las fuerzas infinitesimales que actúan sobre ese elemento de cable son tres: la gravitatoria, la centrífuga y la debida a la tensión del cable. Tenemos que sus expresiones son:

A)Fuerza gravitatoria: 
(en donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa de la Tierra,  es la densidad del cable, S su sección, dr su longitud y r la distancia al centro de la Tierra)

B)Fuerza centrífuga: 
(en donde es la velocidad angular de rotación de la Tierra sobre su eje)

C)Fuerza debida a la tensión del cable: 
(en donde T es la tensión del cable en Pascales)

Si la suma de las tres fuerzas ha de valer cero pondremos que

Simplificando la sección y despejando la tensión:

Expresión que puede integrarse fácilmente:

Para determinar la constante de integración C impondremos la condición de que queremos que el cable se sostenga solo, así que en su extremo superior no debería haber tensión alguna (no tendríamos donde sujetarlo...)

Es decir, si r = L, T=0, lo que sustituido en la ecuación anterior resulta

y puesto en la expresión de la tensión

Esta [ec. 1] nos proporciona la expresión de la tensión del cable en función de la distancia al centro de la Tierra.

Pero además nos permite calcular la longitud L del cable sin más que imponer la condición de que para r=R (R=radio terrestre) deseamos que la tensión del cable sea nula (fácil sujeción...). Sustituyendo en la [ec. 1] tenemos que
y si ponemos valores numéricos de las constantes implicadas obtenemos una ecuación en L (simplificando la densidad)

Esta es una ecuación de tercer grado en L, que pueden resolverse por ejemplo con el Derive o cualquier otro paquete matemático. Utilizando el Derive se obtiene el siguiente resultado:

La primera solución es trivial, la segunda es la buena, la tercera es como la segunda pero simétrica con el centro de la Tierra, y las dos últimas no dicen nada claro. Así pues, la longitud de nuestro cable orbital es la segunda solución restándole el valor del radio terrestre